Chuỗi tâm dưới của G {\displaystyle G} là một dãy các nhóm G 0 , G 1 , G 2 , … {\displaystyle G_{0},G_{1},G_{2},\dots } được định nghĩa bởi

• G 0 = G {\displaystyle G_{0}=G}
• G n + 1 = [ G n , G ] {\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}

Chuỗi tâm trên của G {\displaystyle G} là một dãy các nhóm Z 0 , Z 1 , Z 2 , … {\displaystyle Z_{0},Z_{1},Z_{2},\dots } được định nghĩa bởi

• Z 0 = { e } {\displaystyle Z_{0}=\{e\}}
• Z i + 1 = { x ∈ G | ∀ y ∈ G : [ x , y ] ∈ Z i } {\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G|\forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}